Grawitacyjne efekty w wokółziemskim eksperymencie z atomowymi zegarami

W.Nawrot

W eksperymencie z zegarami podróżującymi w samolotach dookoła świata na wschód i na zachód, efekt grawitacyjnego spowolnienia czasu został opisany zależnością proporcjonalną do współczynnika gh/c2. W tym artykule chciałem pokazać, że taka zależność może być prawdziwa jedynie, gdy wartość g zależy jedynie od siły grawitacji. Jeśli zależy ona także od innych czynników, na przykład siły odśrodkowej, ten współczynnik musi zostać zmieniony. Uwzględnienie sił odśrodkowych wynikających z ruchu samolotów na wschód i na zachód zmienia oczekiwany wynik eksperymentu o kilkaset procent.

W 1971 roku Hafele i Keating przeprowadzili eksperyment, który potwierdził dotychczasową interpretację Paradoksu Bliźniąt [1]. Doświadczenie polegało na pomiarach czasu na trzech zegarach umieszczonych na Ziemi i w samolotach okrążających Ziemię na wschód i na zachód. Zgodnie z przyjętym przez autorów założeniem czas powinno się mierzyć nie w układzie współrzędnych związanym z zegarem na Ziemi ale względem układu związanego z hipotetycznym zegarem umieszczonym na biegunie, i ten punkt przyjęto jako środek układu odniesienia. Takie sformułowanie problemu spotkało się z pewnymi obiekcjami [2] jednak w tym artykule zakładamy że argumentacja użyta w omawianej pracy [1] jest poprawna. Prędkości z jakimi poruszały się te trzy zegary powinny być równe

(1) uZiema=RW

dla zegara na powierzchni Ziemi, i

(2) usamolot= RW  + V

dla zegarów w samolotach

gdzie:

V= +n dla zegara w samolocie lecącym na wschód

i

V= -n dla zegara w samolocie lecącym na zachód

W i R są odpowiednio prędkością kątową i promieniem Ziemi

Czasy wskazywane przez te zegary powinny zależeć od ich prędkości tzn. zegar podróżujący na wschód powinien iść najwolniej, a zegar podróżujący na zachód - najszybciej. Ostatecznie różnica między czasami wskazywanymi przez zegary w samolotach a zegarem na Ziemi powinna być opisana wzorem:

(3) t - t 0 = [gh/c2 - (2RW V + V2)/2c2] t 0

gdzie gh/c2 opisuje grawitacyjną zmianę czasu jaka powstaje w wyniku różnicy wysokości zegara w samolocie w stosunku do zegara na powierzchni Ziemi, t - oznacza czas mierzony przez zegar w samolocie, t 0 - oznacza czas mierzony przez zegar na powierzchni Ziemi. Według autorów efekt grawitacyjnej zmiany czasu nie zależy od prędkości zegarów. W tej pracy pragnę pokazać, że założenie to nie jest prawdziwe i właściwe postawienie problemu powinno zmienić wynik obliczeń o kilkaset procent.

Podstawą obliczenia różnicy wskazań zegarów w dwóch poruszających się względem siebie układach jest tu pierwszy człon rozwinięcia wzoru:

(4)

czyli:

(5) t' = t0(1-u2/2c2)

Hafele i Keating przyjęli, że ruch trzech zegarów - dwóch w samolotach i jednego na Ziemi, można mierzyć względem czwartego, hipotetycznego zegara znajdującego się na biegunie. Zegar ten został uznany za nieruchomy.

Jeśli oznaczymy czas upływający na hipotetycznym zegarze umieszczonym na biegunie jako t0 to podstawiając (1) i (2) do (5) otrzymamy, że przez czasy mierzone zegary w samolotach t i zegar na Ziemi t 0 wyniosą:

dla zegara na Ziemi:

(6) t 0 = t0(1-R2W 2/2c2)

i dla zegarów w samolotach:

(7) t = t0(1-(RW +V)2/2c2)

Dzieląc równania stronami otrzymujemy:

(8) t (1-R2W 2/2c2)= t 0 (1-(RW +V)2/2c2)

stąd po pominięciu małych wyrażeń otrzymujemy różnicę czasu między zegarami w samolotach a zegarem na Ziemi równą:

(9) t -t 0 = -t 0(2RW V+V2)/2c2

Zgodnie z tym wzorem różnica czasu powinna być inna dla samolotu lecącego na wschód:

gdzie V= +n i na zachód, gdzie V= -n .

Równanie (9) zostało uzupełnione o różnicę czasu wynikającą z mniejszej siły grawitacji działającej na zegary w samolotach niż na zegar na Ziemi - samoloty leciały na wysokości ok. 10 km

Grawitacyjną zmianę czasu między dwoma punktami pola grawitacyjnego można policzyć korzystając ze wzoru (4) lub (5) gdzie prędkość obliczamy porównując energię kinetyczną z energią potencjalną między tymi punktami.

Różnica energii potencjalnej dla zegara na wysokości h nad Ziemią obliczamy z energii potencjalnych w tych punktach:

Ep= m(R+h) g(R+h) - mR g(R)

gdzie:

m - masa ciała

R - promień Ziemi

g(R) - przyśpieszenie ziemskie na poziomie Ziemi

g(R+h) - przyśpieszenie ziemskie na wysokości h nad Ziemią.

Porównując to z energią kinetyczną ciała - jaką to ciało uzyskałoby spadając swobodnie między tymi punktami Ek = m u2/2 otrzymujemy:

(10) u2/2 = (R+h) g(R+h) - R g(R)

Ponieważ dla pola centralnego (od masy punktowej) zachodzi g(R)~1/R2 możemy zapisać

(11) g(R+h)= [R/(R+h)]2 g(R)

Tak więc wzór (10) można zapisać w postaci:

(12) u2/2 = (R+h)[ R/(R+h)]2 g(R) - R g(R) = ..= - g(R) h [R/(R+h)]

w przypadku h<<R można zapisać:

(13) u2/2 = - g(R) h

Podstawiając tak otrzymaną prędkość do (5) otrzymujemy grawitacyjną zmianę czasu równą:

(14) t -t 0 = t 0g(R)h/c2

wzór (3) został otrzymany z dodania zmian czasów z (9) i (14)

Jeśli jednak g(R) zależy od innych czynników jak na przykład siły odśrodkowej - jak to miało miejsce w opisanym doświadczeniu to wzór powinien zostać zmodyfikowany. Do przyśpieszenia ziemskiego powinniśmy dodać przyśpieszenie wynikające z ruchu zegarów wokół Ziemi równe -uZiemia2/R dla zegara na Ziemi lub -uSamolot2/(R+h) dla zegarów w samolotach.

Dla zegara na Ziemi, poruszającego się po okręgu o promieniu R się z prędkością W R mamy więc:

(15)gc(R) = g(R) - (W R)2/R

Natomiast

Dla zegarów w samolotach poruszjących się po okręgu o promieniu R+h z prędkością W (R+h)+ V mamy:

(16) gc(R+h) = g(R+h) - [W (R+h)+ V]2/(R+h)=

=g(R) [R/(R+h)]2 - [W (R+h)+ V]2/(R+h)

Jeśli zastąpimy g(R+h) i g(R) w równaniu (10) przez gc(R+h) i gc(R) z równań (15) i (16) to po pominięciu małych wyrażeń otrzymamy:

(17) u2/2 @ - g(R) h - 2VW R - V2

tak więc grawitacyna zmiana czasu powinna być opisana wzorem

(18) t -t 0 = -t 0u2/2c2 = t 0(g(R) h + 2VW R + V2)/c2

W odróżnieniu od wartości otrzymanej w równaniu (14) która została zastosowana do obliczeń w eksperymencie Hafele i Keating [1], grawitacyjny efekt zależy od kierunku lotu samolotów (na wschód czy na zachód) i efekt wynikający z kierunku lotu jest tu dwukrotnie większy niż efekt wynikający z prędkości ruchu zegarów.

Z wysumowania wzorów (9) i (18) dostajemy nową postać wzoru (3):

(19) t - t 0 @ [gh/c2 + (2VW R + V2)/2c2] t 0

Wzór jest prawie taki sam tylko zamiast (3) minusa mamy plus. Konsekwencje tego jest zmiana oczekiwanych wyników pomiarów o kilkaset procent

Hafele and Keating [1] otrzymali następujące wartości zmiany wskazań zegarów (w [ns]) w samolotach w stosunku do zegara na Ziemi

Efekt

Kierunek

Wschód

Zachód

Grawitacyjny

144

179

Kinetyczny

-184

96

Razem

-40

275

Ponieważ jak wykazano w równaniu (18) dotychczasowy efekt grawitacyjny powinien zostać powiększony o człon równy podwójnemu efektowi kinetycznemu (9) lecz z przeciwnym znakiem więc po zwiększeniu efektu grawitacyjnego o tę wartość otrzymujemy:

Efekt

Kierunek

Wschód

Zachód

Grawitacyjny

512

-13

Kinetyczny

-184

96

Razem

328

83

 

Podsumowanie:

W eksperymencie z zegarami w samolotach grawitacyjna zmiana czasu wyliczona była z zależności

t -t 0 = t 0g(R)h/c2

która może być stosowana jedynie dla spoczywających zegarów. Stąd tak duży błąd w przewidywanych wynikach.

Z drugiej strony, jeśli zmiana przyśpieszenia o mniej niż 1% (jako wynik działania siły odśrodkowej) daje zmianę wyniku eksperymentu o kilkaset procent to można się spodziewać, że wszystkie przyśpieszenia występujące w czasie lotu, lądowań (samoloty w czasie trwania eksperymentu lotu kilkakrotnie lądowały i startowały) miały dużo większy wpływ na wynik doświadczenia niż sama różnica prędkości zegarów. Aby wyobrazić sobie skalę problemu wystarczy pamiętać, że zmiana czasu wynikająca z działania przyśpieszenia ziemskiego odpowiada zmianie czasu dla prędkości 40 000km/godz, podczas, gdy samolot poruszał się z prędkością ok 800 km/godz. Szacując zgrubnie, przyśpieszenie np. 0,2g w czasie startu odpowiadałoby prędkości 8000 km/godz. Dodatkowo zmiana czasu wzrasta nieliniowo z prędkością układu więc zmiany wskazań zegarów są większe niż zmiany odpowiadające różnym prędkościom lotu.

Z przedstawionego artykułu wynika, że:

W eksperymencie z zegarami efekty grawitacyjne i rozmaite przyśpieszenia występujące w czasie lotu mają zbyt duży wpływ na zmianę czasu w porównaniu ze zmianą czasu wynikającą jedynie z prędkości ruchu. Pominięcie jakiegokolwiek efektu grawitacyjnego powoduje otrzymanie nieprawdziwych wyników. Prędkości samolotów są zbyt małe aby pomiar zmiany czasu był wiarygodny i nie zależał tak silnie od przyśpieszeń różnego pochodzenia.

Zgodnie z powyższym eksperyment z zegarami nie może zostać uznany za dowód dotychczasowej interpretacji Paradoksu Bliźniąt [1].

References

[1] J.C.Hafele, R.E.Keating, Science 177 p. 166-170 (1972)

[2] R.Shlegel, Nature Phys. Sci. 229 p.237-238 (1971)